Question

【题目】如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形的长分别为米和米，上部是圆心为的劣弧，

（1）求图1中拱门最高点到地面的距离：

（2）现欲以点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示，设与地面水平线所成的角为.若拱门上的点到地面的最大距离恰好为到地面的距离，试求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据及,可求得圆的半径,根据最高点与圆心的关系即可求得到地面的距离.

（2）通过讨论P点所在的位置以及三角函数的性质可判断出h取最大值时θ取值范围．

（1）过O点作交于,交于,交于.如下图所示:

则即为所求.

因为,

所以

则

所以

即拱门最高点到地面的距离为5米

（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．

当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；

当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．

由（1）知，在Rt△OO1B中，OB2．

以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．

①当点P在劣弧CD上时，．

由∠OBx＝θ，OB＝2 ，

由三角函数定义，得O（2cos（），2），

则h＝2+2，所以当θ即θ时，h取得最大值2+2，

②当点P在线段AD上时，0≤θ．

设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，DB2，sinφ，cosφ．

由∠DBx＝θ+φ，得D（2（θ+φ），2（θ+φ））．

所以h＝2（θ+φ）＝4sinθ+2cosθ，

又当0＜θ时，h′＝4cosθ﹣2sinθ＞4cos2sin 0，

所以h＝4sinθ+2在[0，]上递增．

所以当θ时，h取得最大值5．

因为2+25，所以h的最大值为2+2．

综上，若拱门上的点到地面的最大距离恰好为D到地面的距离，则θ．