Question

已知函数f（x）=x³+3ax-1
（1）若函数y=f（x）在x=-1时有与x轴平行的切线，求f（x）的表达式；
（2）设g（x）=[af'（x）-3a²+3]，其中f^-1（x）是f（x）的导函数，若函数g（x）的图象与直线y=x相切，求a的值；
（3）设a=-m²，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导，根据函数y=f（x）的图象在x=-1时有与x轴平行的切线，利用导数的几何意义，可知f′（-1）=0，解方程即可求得结果；
（2）先求出函数g（x），再利用函数g（x）的图象与直线y=x相切，建立方程组，从而可求a的值
（3）先求f′（x）=3x²-3m²，再进行分类讨论：①当m=0时，f（x）=x³-1的图象与直线y=3只有一个公共点；②当m≠0时，求得极值，明确关键点，再利用图象间的关系求解．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+3a
∵函数y=f（x）在x=-1时有与x轴平行的切线
∴f′（-1）=3+3a=0
∴a=-1
∴f（x）=x³-ax-1
（2）g（x）=[af′（x）-3a²+3]=[a（3x²+3a）-3a²+3]=ax²+1，
设函数g（x）=ax²+1与直线y=x的切点是P（x，y），
则有，解得
（3）f′（x）=3x²-3m²
①当m=0时，f（x）=x³-1的图象与直线y=3只有一个公共点
②当m≠0时，f（x）_极小=f（|m|）=-2m²×|m|-1＜-1
又∵f（x）的值域是R，且在（|m|，+∞）上单调递增
∴当x＞|m|时函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．
当x＜|m|时，恒有f（x）≤f（-|m|）
由题意得f（-|m|）＜3
即2m²×|m|-1=2|m|³-1＜3
解得
综上，m的取值范围是

点评：本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的极值问题，考查数形结合的数学思想方法，同时考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．