Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x），（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）的图象过点（2，$\frac{41}{9}$），求f（x）．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根据函数过点，代入进行求解即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（-∞，+∞），
则f（-x）=$\frac{1}{2}$（a^-x+a^x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）=f（x），
则函数f（x）为偶函数；
（2）若函数f（x）的图象过点（2，$\frac{41}{9}$），
则f（2）=$\frac{1}{2}$（a²+a^-2）=$\frac{41}{9}$，
即a²+a^-2=$\frac{82}{9}$，
即a⁴-$\frac{82}{9}$a²+1=0
即9a⁴-82a²+9=0，
解得a²=9或a²=$\frac{1}{9}$
∵a＞0且a≠1，
∴a=3或a=$\frac{1}{3}$．  
即f（x）=$\frac{1}{2}$（3^x+3^-x）．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数解析式的求法，考查学生的计算能力，建立方程关系是解决本题的关键．