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已知函数
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,对定义域内任意x,均有恒成立,求实数a的取值范围?
(Ⅲ)证明:对任意的正整数恒成立。

(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)详见解析.

解析试题分析:(Ⅰ)当时,求函数的单调区间,首先确定定义域,可通过单调性的定义,或求导确定单调区间,由于,含有对数函数,可通过求导来确定单调区间,对函数求导得,由此令,解出就能求出函数的单调区间;(Ⅱ)若,对定义域内任意,均有恒成立,求实数的取值范围,而,对定义域内任意,均有恒成立,属于恒成立问题,解这一类题,常常采用含有参数的放到不等式的一边,不含参数(即含)的放到不等式的另一边,转化为函数的最值问题,但此题用此法比较麻烦,可考虑求其最小值,让最小值大于等于零即可,因此对函数求导,利用导数确定最小值,从而求出的取值范围;(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,,当且仅当时,等号成立,这个不等式等价于,即,由此对任意的正整数,不等式恒成立.
试题解析:(Ⅰ)定义域为(0,+∞),,所以(4分)
(Ⅱ),当时,上递减,在上递增,,当时, 不可能成立,综上;(9分)
(Ⅲ)令相加得到
得证。(14分)
考点:函数与导数,函数的单调区间,函数与不等式.

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