已知函数
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,对定义域内任意x,均有恒成立,求实数a的取值范围?
(Ⅲ)证明:对任意的正整数,恒成立。
(Ⅰ)在;(Ⅱ);(Ⅲ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)当时,求函数的单调区间,首先确定定义域,可通过单调性的定义,或求导确定单调区间,由于,含有对数函数,可通过求导来确定单调区间,对函数求导得,由此令,,解出就能求出函数的单调区间;(Ⅱ)若,对定义域内任意,均有恒成立,求实数的取值范围,而,对定义域内任意,均有恒成立,属于恒成立问题,解这一类题,常常采用含有参数的放到不等式的一边,不含参数(即含)的放到不等式的另一边,转化为函数的最值问题,但此题用此法比较麻烦,可考虑求其最小值,让最小值大于等于零即可,因此对函数求导,利用导数确定最小值,从而求出的取值范围;(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,,当且仅当时,等号成立,这个不等式等价于,即,由此对任意的正整数,不等式恒成立.
试题解析:(Ⅰ)定义域为(0,+∞),,,所以在(4分)
(Ⅱ),当时,在上递减,在上递增,,当时, 不可能成立,综上;(9分)
(Ⅲ)令,相加得到
得证。(14分)
考点:函数与导数,函数的单调区间,函数与不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数, 在上为增函数,且,求解下列各题:
(1)求的取值范围;
(2)若在上为单调增函数,求的取值范围;
(3)设,若在上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数.
(1)当,时,求函数的最大值;
(2)令,其图象上存在一点,使此处切线的斜率,求实数的取值范围;
(3)当,,时,方程有唯一实数解,求的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知中心在原点的双曲线的一个焦点是,一条渐近线的方程是.
(1)求双曲线的方程;(2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式其中为常数.己知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(1)求的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得利润最大.
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