Question

15、如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF，那么上述几个条件中能成为增加的条件的序号是

①③

（填上你认为正确的所有序号）

Answer 1

分析：：①因为AC⊥β，且EF?β所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF?α所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，所以EF⊥平面ACBD，因为BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
②此时AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．
③因为CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上，所以EF⊥AC．因为AC∩CD=C，所以EF⊥平面ACBD，因为BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
④若AC∥EF则AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．

解答：解：①因为AC⊥β，且EF?β所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF?α所以EF⊥AB．
因为AC∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以①可以成为增加的条件．
②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上
因为CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．
所以EF与CD在β内的射影垂直，
AC与CD在β内的射影在同一条直线上
所以EF⊥AC
因为AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成为增加的条件．
④若AC∥EF则AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．
所以④不可以成为增加的条件．
故答案为：①③．

点评：解决此类问题关键是熟记相关的平行与垂直的定理，准确把握定理中的条件，这种题型比较注重基础知识的灵活变形，也是今后命题的一个方向．