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设函数对任意,都有,当时, 

(1)求证:是奇函数;

(2)试问:在时  是否有最大值?如果有,求出最大值,如果没有,说明理由.

(3)解关于x的不等式

 

【答案】

(1)详见解析;(2)函数最大值为;(3)①,则解为;②,则解为;③,则无解.

【解析】

试题分析:(1)要证明为奇函数,需要证明.如何利用所给条件变出这样一个等式来?

为了产生,令,则.这时的等于0吗?如何求?再设可得,从而问题得证.

(2)一个连续函数在闭区间上必最大值的最小值.为了求函数的最值,就需要研究函数的单调性.研究单调性,第一,根据定义,第二利用导数.抽象函数研究单调性只能用定义.任取,则,根据条件可得:

所以为减函数,那么函数在上的最大值为.

(3)有关抽象函数的不等式,都是利用单调性去掉.首先要将不等式化为,注意必须是左右各一项.在本题中,由题设可得在R上为减函数

,即.下面就解这个不等式.这个不等式中含有参数,故需要分情况讨论.

试题解析:(1)设可得,设,则

所以为奇函数.

(2)任取,则,又

所以

所以为减函数。

那么函数最大值为

所以函数最大值为.

(3)由题设可知

可化为

在R上为减函数

,即

,则解为

,则解为

,则无解

考点:1、抽象函数;2、函数的性质;3、解不等式.

 

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< 0,. (1)求;  

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