设函数对任意,都有,当时,
(1)求证:是奇函数;
(2)试问:在时 ,是否有最大值?如果有,求出最大值,如果没有,说明理由.
(3)解关于x的不等式
(1)详见解析;(2)函数最大值为;(3)①,则解为;②,则解为;③,则无解.
【解析】
试题分析:(1)要证明为奇函数,需要证明.如何利用所给条件变出这样一个等式来?
为了产生,令,则.这时的等于0吗?如何求?再设可得,从而问题得证.
(2)一个连续函数在闭区间上必最大值的最小值.为了求函数的最值,就需要研究函数的单调性.研究单调性,第一,根据定义,第二利用导数.抽象函数研究单调性只能用定义.任取,则,根据条件可得:即
所以为减函数,那么函数在上的最大值为.
(3)有关抽象函数的不等式,都是利用单调性去掉.首先要将不等式化为,注意必须是左右各一项.在本题中,由题设可得,在R上为减函数
,即.下面就解这个不等式.这个不等式中含有参数,故需要分情况讨论.
试题解析:(1)设可得,设,则
所以为奇函数.
(2)任取,则,又
所以
所以为减函数。
那么函数最大值为,,
所以函数最大值为.
(3)由题设可知
即
可化为
即,在R上为减函数
,即,
①,则解为
②,则解为
③,则无解
考点:1、抽象函数;2、函数的性质;3、解不等式.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年四川省高三第三次月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
设函数对任意,都有,当时,
(1)求证:是奇函数;
(2)试问:在时 ,是否有最大值?如果有,求出最大值,如果没有,说明理由.
(3)解关于x的不等式
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科目:高中数学 来源:2012年苏教版高中数学选修1-2 2.2直接证明与间接证明练习卷(解析版) 题型:解答题
设函数对任意,都有且时,.
(Ⅰ)证明为奇函数;
(Ⅱ)证明在上为减函数.
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科目:高中数学 来源:2014届宁夏中卫市海原一中高一上学期期末考试数学 题型:解答题
(本小题满分14分)
设函数对任意实数都有且时。
(Ⅰ)证明是奇函数;
(Ⅱ)证明在内是增函数;
(Ⅲ)若,试求的取值范围。
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