Question

已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=

1

a

-

1

x-1

（a＞0）
（Ⅰ）若f（2t-3）＞f（4-t），求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）≤4x对（1，+∞）上的任意x都成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于函数在（1，+∞）上为增函数，
则f（2t-3）＞f（4-t）?

2t-3＞4-t 2t-3＞1 4-t＞1

，解出即可；
（2）由于f（x）≤4x对（1，+∞）上的任意x都成立，就转化为求函数f（x）在（1，+∞）上的最小值大于等于

1

a

的问题，可求a的取值范围；
（3）先将函数化简，再对a进行讨论，从而利于基本不等式研究函数的最值，进而得解．

解答：解：（1）由于定义在（1，+∞）上的函数f（x）=

1

a

-

1

x-1

（a＞0）满足f（2t-3）＞f（4-t），
则

2t-3＞4-t 2t-3＞1 4-t＞1

解得t∈(

7

3

，3)
（2）由f（x）≤4x得

1

a

≤4x+

1

x-1

，
∴

1

a

≤4(x-1)+

1

x-1

+4∵4(x-1)+

1

x-1

≥4(x=

3

2

时取等号)
∴

1

a

≤8∵a＞0∴a≥

1

8

（3）由于f（x）在（1，+∞）单调递增，∴

1 a - 1 m-1 =m 1 a - 1 n-1 =n

∴m，n为方程

1

a

-

1

x-1

=x的两个大于1的不等实根
令x-1=u（u＞0）
由y=

1

a

-1与y=u+

1

u

(u＞0)的图象可得

1

a

-1＞2∴0＜a＜

1

3

点评：求二次函数的最值问题，关于给定解析式的二次函数在不固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论