Question

函数f（x）=a^x+|x-

1

2

|-

1

2

在（0，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由f（x）=0，得到a^x=-|x-

1

2

|+

1

2

，将方程转化为函数，利用指数函数的图象，结合数形结合的数学思想即可得到结论．

解答：解：由f（x）=a^x+|x-

1

2

|-

1

2

=0，
得a^x=-|x-

1

2

|+

1

2

，
设函数y=a^x和y=-|x-

1

2

|+

1

2

，
作出函数y=-|x-

1

2

|+

1

2

，在（0，1）上的图象如图：
若a＞1，则函数y=a^x和y=-|x-

1

2

|+

1

2

两个图象没有公共点，不成立．
若0＜a＜1，则函数y=a^x单调递减，y=-|x-

1

2

|+

1

2

在（0，1）上的最大值为

1

2

，
要使两个图象有两个不同的公共点，
则当x=

1

2

时，满足a

1

2

＜

1

2

，
即a＜

1

4

，
此时0＜a＜

1

4

，
故答案为：0＜a＜

1

4

．

点评：本题主要考查函数零点的应用，将函数零点问题转化为两个函数的图象是解决本题的关键，利用数形结合是基本方法．