Question

4．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角为（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
则A₁（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
设平面A₁B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{DA}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
设直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角为θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$，
∴直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角为$\frac{π}{6}$．
故选：B．

点评 本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．