Question

【题目】已知f（x）=e ﹣ ，其中e为自然对数的底数．
（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；
（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=e ﹣ ，

∴f′（x）= ﹣ ，

∴g（x）=（x+1）（ ﹣ ），

∴g′（x）= [（x+3） ﹣1]，

当x＞﹣1时，g′（x）＞0，

∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增

（2）解：由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）= （ ﹣g（x）），

由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且g（﹣1）=0 可知当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）∈（0，+∞），

则F′（x）= （ ﹣g（x））有唯一零点，

设此零点为x=t，易知x∈（﹣1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；

x∈（t，+∞）时，F′（t）＜0．F（x）单调递减．

知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4，

其中a= ，

令G（x）=ln（x+1）﹣ +4，

则G′（x）= ，

易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，

∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且G（0）=0，

①当0＜a＜4时，g（t）= ＞ =g（0），

由g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，知t＞0，则F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，

由F（x）在（﹣1，t）上单调递增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（﹣1，+∞）上均恒成立，

则F（e﹣4﹣1）=﹣af（e﹣4﹣1）＜0，

∴F（t）F（e﹣4﹣1）＜0

∴F（x）在（﹣1，t）上有零点，与条件不符；

②当a=4时，g（t）= = =g（0），由g（x）的单调性可知t=0，

则F（x）max=F（t）=G（t）=G（0）=0，此时F（x）有一个零点，与条件不符；

③当a＞4时，g（t）= ＜ =g（0），由g（x）的单调性知t＜0，

则F（x）max=F（t）=G（t）＜G（0）=0，此时F（x）没有零点．

综上所述，当F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点时，正数a的取值范围是a∈（4，+∞）

【解析】（1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性．（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．