Question

13．已知椭圆的一个顶点为A₁（0，-$\sqrt{2}$），焦点在x轴上．若右焦点到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离3
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点M（1，1）的直线与椭圆交于A、B两点，且M点为线段AB的中点，求直线AB的方程及|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）依题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，则右焦点F（$\sqrt{{a}^{2}-2}$，0）由题设$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，解出即可得出；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1，相减可得k，即可得出直线AB的方程，与椭圆的方程化为：3x²-6x+1=0，利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）依题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，则右焦点F（$\sqrt{{a}^{2}-2}$，0）由题设$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，解得a²=4，
 故所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1，
相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2}$=0，
∴$\frac{2}{4}+\frac{2k}{2}$=0，解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴直线AB的方程为：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），化为x+2y-3=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：3x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-$\frac{1}{3}$
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[4+4×\frac{1}{3}]}$=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式、弦长公式、一元二次方程的该协议书的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．