Question

人口的增长是当前世界上各国普遍关注的问题.我们经常在报刊上看到关于人口增长的预报,说到本世纪中叶,全世界(或某地区)人口将达到多少亿.你可能注意到不同的报刊对同一时间的人口预报在数字上有较大的区别.你知道他们是如何预测的吗?为什么会有较大的区别呢?

早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出自然状态下的人口增长模型y=y₀·e^rt,其中t表示时间,y₀表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.

下面两个表格是我国两段时期的人口资料,试分别求出这两段时期的人口模型,并进行比较,解释为什么会不同,并预测2010年时我国人口总数.

甲                                 1950—1959

年份	1950	1951	1952	1953	1954
人数(万)	55 196	56 300	57 482	58 796	60 266
年份	1955	1956	1957	1958	1959
人数(万)	61 456	62 828	64 563	65 994	67 207

乙                                 1991—1998

年份	1991	1992	1993	1994
人数(万)	114 333	115 823	117 171	118 517
年份	1995	1996	1997	1998
人数(万)	119 850	121 121	122 389	123 626

Answer 1

解析:设1950—1959年的人口增长率分别为r₁,r₂,…,r₉.由55 196(1+r₁)=56 300,得r₁≈0.020 0.

    同理r₂≈0.021 0,r₃≈0.022 9,r₄≈0.025 0,r₅≈0.019 7,r₆≈0.022 3,r₇≈0.027 6,r₈≈0.022 2,r₉≈0.018 4.

    于是，1950—1959年人口增长率为r=(r₁+r₂+…+r₉)/9≈0.022 1.

    ∴1950—1959年的人口增长模型y₁=55 196e^{0.022 1t}(t∈N).

    设1991—1998年人口增长率分别为s₁,s₂,…,s₇,

    由114 333(1+s₁)=115 823得s₁≈0.013 0.

    同理s₂≈0.011 6,s₃≈0.011 5,s₄≈0.011 2,s₅≈0.010 6,s₆≈0.010 5,s₇≈0.010 1.

    ∴1991—1998年的人口年平均增长率为r=(s₁+s₂+…+s₇)/7≈0.011 2.

    ∴1991—1998年的人口增长模型y₂=114 333e^{0.011 2t},(t∈N).

    后者的人口平均增长率明显小于前者,这正说明了我国的计划生育政策所起的作用.

    若以模型一预测我国2010年人口数为y₁=55 196·e^{0.022 1×60}≈207 865.16(万人),

    以模型二预测为y₂=114 333·e^{0.011 2×19}≈141 445.59(万人),

    很明显应以1991—1998年的模型预测是合理的,到2010年我国人口预计可达14亿.