Question

（2012•成都一模）已知函数f（x）在[a，b]上连续，定义

f1(x)=f(t)min，x∈[a，b]，a≤t≤x f2(x)=f(t)max，x∈[a，b]，a≤t≤x

；其中f（x）_min（x∈D）表示f（x）在D上的最小值，f（x）_max（x∈D）表示f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．有下列命题：
①若f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f₁（x）=1，x∈[0，π]；
②若f（x）=2^x，x∈[-1，4]，则f2(x)=2x，x∈[-1，4]
③f（x）=x为[1，2]上的1阶收缩函数；
④f（x）=x²为[1，4]上的5阶收缩函数．
其中你认为正确的所有命题的序号为

②③④

．

Answer 1

分析：①根据新定义f（x）=cosx的最小值，可得f₁（x）的解析式；
②根据指数函数的性质f（x）=2^x，x∈[-1，4]，上为增函数，f（x）_max=2⁴=16，从而进行判断；
③根据f（x）=x为[1，2]可以求出f₁（x）和f₂（x），再利用存在最小正整数k使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数，的定义进行判断；
④根据新定义求出求出f₁（x）和f₂（x），再代入f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）将问题转化为函数恒成立问题，求出k的最小值；

解答：解：①由题意可得：f₁（x）=f（t）_min=cosx，，x∈[0，π]，故①错误；
②f（x）=2^x，x∈[-1，4]，f（x）为增函数，∴f₂（x）=2^x，x∈[0，π]，故②正确；
③∵f（x）=x，x∈[1，2]，f（x）为单调增函数，f₁（x）=f（x）=1，f₂（x）=f（x）=x，∴f₂（x）-f₁（x）=x-1=1，a=1，
∴存在k=1，使得（x-1）≤1×（x-1），对任意的x∈[1，2]成立，故③正确
④∵f（x）=x²为[1，4]上为单调增函数，f₁（x）=1，f₂（x）=x²，a=1，x∈[1，4]
∴f₂（x）-f₁（x）=x²-1，x-a=x-1，存在k=5
∴x²-1≤k（x-1），x∈[1，4]，0≤x-1≤3
∴k≥x+1恒成立，k≥5，k的最小值为5，
∴f（x）=x²为[1，4]上的5阶收缩函数．故④正确；
故答案为②③④；

点评：本题主要考查学生的对新问题的接受、分析和解决的能力．要求学生要有很扎实的基本功才能作对这类问题．