【题目】已知向量 =(cosωx﹣sinωx,sinωx),
=(﹣cosωx﹣sinωx,2
cosωx),设函数f(x)=
+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈(
,1)
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的图象经过点( ,0)求函数f(x)在区间[0,
]上的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)=
+λ=(cosωx﹣sinωx)×(﹣cosωx﹣sinωx)+sinωx×2
cosωx+λ
=﹣(cos2ωx﹣sin2ωx)+ sin2ωx+λ
= sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin(2ωx﹣
)+λ
∵图象关于直线x=π对称,∴2πω﹣ =
+kπ,k∈z
∴ω= +
,又ω∈(
,1)
∴k=1时,ω=
∴函数f(x)的最小正周期为 =
(2)解:∵f( )=0
∴2sin(2× ×
﹣
)+λ=0
∴λ=﹣
∴f(x)=2sin( x﹣
)﹣
由x∈[0, ]
∴ x﹣
∈[﹣
,
]
∴sin( x﹣
)∈[﹣
,1]
∴2sin( x﹣
)﹣
=f(x)∈[﹣1﹣
,2﹣
]
故函数f(x)在区间[0, ]上的取值范围为[﹣1﹣
,2﹣
]
【解析】(1)先利用向量数量积运算性质,求函数f(x)的解析式,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f(x)化为y=Asin(ωx+φ)+k型函数,最后利用函数的对称性和ω的范围,计算ω的值,从而得函数的最小正周期;(2)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得λ的值,再求内层函数的值域,最后将内层函数看做整体,利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f(x)的值域.
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【题目】已知三点O(0,0),A(﹣2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足| +
|=
(
+
)+2.
(1)求曲线C的方程;
(2)动点Q(x0 , y0)(﹣2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为直线l:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.
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【题目】某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为K(K为正整数).
(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数K的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
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【题目】已知,则
_____.
【答案】
【解析】
分子分母同时除以,把目标式转为
的表达式,代入可求.
,则
故答案为:.
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值,常用方法:(1)弦切互化法:主要利用公式, 形如
等类型可进行弦化切;(2)“1”的灵活代换
和
的关系进行变形、转化.
【题型】填空题
【结束】
15
【题目】如图,正方体的棱长为1,
为
中点,连接
,则异面直线
和
所成角的余弦值为_____.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆
的普通方程为
. 在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线
的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与
轴和
轴的交点分别为
,
为圆
上的任意一点,求
的取值范围.
【答案】(1);
.
(2).
【解析】【试题分析】(I)利用圆心和半径,写出圆的参数方程,将圆的极坐标方程展开后化简得直角坐标方程.(II)求得两点的坐标, 设点
,代入向量
,利用三角函数的值域来求得取值范围.
【试题解析】
(Ⅰ)圆的参数方程为
(
为参数).
直线的直角坐标方程为
.
(Ⅱ)由直线的方程
可得点
,点
.
设点,则
.
.
由(Ⅰ)知,则
.
因为,所以
.
【题型】解答题
【结束】
23
【题目】选修4-5:不等式选讲
已知函数,
.
(Ⅰ)若对于任意,
都满足
,求
的值;
(Ⅱ)若存在,使得
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知是定义在
上的奇函数,且
,对任意的
且
时,有
成立.
(1)判断在
上的单调性,并用定义证明;
(2)解不等式;
(3)若对任意的
恒成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以5为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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