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4.已知二次函数f(x)=ax2+bx-3在x=1处取得极值,且在点(0,-3)处的切线与直线2x+y=0平行,设两数g(x)=xf(x)+4x.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式,并求g(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)求函数g(x)在x∈[0,2]的最值.

分析 (1)由f(x)=ax2+bx-3,知f′(x)=2ax+b.由二次函数f(x)=ax2+bx-3在x=1处取得极值,且在(0,-3)点处的切线与直线2x+y=0平行,得到关于a,b的方程组,由此能求出f(x),求出g(x)的表达式,从而求出g′(x),列表讨论能求出函数g(x)的单调递增区间;
(2)结合(1)的结论,能求出函数g(x)的最大值和最小值.

解答 解:(1)∵f(x)=ax2+bx-3,
∴f′(x)=2ax+b.
∵二次函数f(x)=ax2+bx-3在x=1处取得极值,且在(0,-3)点处的切线与直线2x+y=0平行,
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′(1)=2a+b=0}\\{f′(0)=b=-2}\end{array}\right.$,
解得a=1,b=-2.所以f(x)=x2-2x-3,
∴g(x)=xf(x)+4x=x3-2x2+x,
所以g′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).
令g′(x)=0,得x1=$\frac{1}{3}$,x2=1.

x(-∞,$\frac{1}{3}$)$\frac{1}{3}$($\frac{1}{3}$,1)1(1,+∞)
g′(x)+0-0+
g(x)极大值 $\frac{4}{27}$极小值0
所以函数g(x)的单调递增区间为(-∞,$\frac{1}{3}$),(1,+∞).
(2)由(1)得:g(x)在[0,$\frac{1}{3}$]递增,在($\frac{1}{3}$,1)递减,在(1,2]递增,
而g($\frac{1}{3}$)=$\frac{4}{27}$,g(0)=0,g(1)=0,g(2)=2,
∴函数g(x)的最大值为2,最小值为0.

点评 本题考查导数在求闭区间上函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.

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