Question

【题目】以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的《中国诗词大会》，是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目，每季赛事共分为10场，每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分，其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场擂主之间进行，一共备有9道抢答题，选手抢到并答对获得1分，答错对方得1分，当有一个选手累计得分达到5分时比赛结束，该选手就是本场的擂主，在某场比赛中，甲、乙两人进行擂主争霸赛，设每个题目甲答对的概率都为 ，乙答对的概率为 ，每道题目都有人抢答，且每人抢到答题权的概率均为 ，各题答题情况互不影响． （Ⅰ）求抢答一道题目，甲得1分的概率；
（Ⅱ）现在前5题已经抢答完毕，甲得2分，乙得3分，在接下来的比赛中，设甲的得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

【答案】解：（I）设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A，则事件A发生当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后答错．∴P（A）= + = ． （II）在接下来的比赛中，甲的得分为ξ取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= × × = ，P（ξ=2）= × = ，P（ξ=3）=1﹣ ﹣ ﹣ = ．
∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ=0× +1× +2× +3× =
【解析】（I）设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A，则事件A发生当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后答错．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．（II）在接下来的比赛中，甲的得分为ξ取值为0，1，2，3．P（ξ=0）= ，P（ξ=1）= × × ，P（ξ=2）= × ，P（ξ=3）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）．
【考点精析】关于本题考查的离散型随机变量及其分布列，需要了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能得出正确答案．