Question

（2013•佛山一模）已知A（-2，0），B（2，0），C（m，n）．
（1）若m=1，n=

3

，求△ABC的外接圆的方程；
（2）若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A，B），直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）法1：设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，依题意，求得D，E，F即可；
法2：可求得线段AC的中点为（-

1

2

，

3

2

），直线AC的斜率为k₁=

3

3

及线段AC的中垂线的方程，从而可求△ABC的外接圆圆心及半径为r；
法3：可求得|OC|=2，而|OA|=|OB|=2，从而知△ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆；
法4：直线AC的斜率为k₁=

3

3

，直线BC的斜率为k₂=-

3

，由k₁•k₂=-1⇒AC⊥BC，⇒△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆；
（2）设点R的坐标为（2，t），由A，C，R三点共线，而

AC

=（m+2，n），

AR

=（4，t），则4n=t（m+2）可求得t=

4n

m+2

，继而可求得直线CD的方程，于是可求得圆心O到直线CD的距离d=r，从而可判断直线CD与圆O相切．

解答：解：（1）法1：设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
由题意可得

4-2D+F=0 4+2D+F=0 1+3+D+ 3 E+F=0

，解得D=E=0，F=-4，
∴△ABC的外接圆方程为x²+y²-4=0，即x²+y²=4．-----------------（6分）
法2：线段AC的中点为（-

1

2

，

3

2

），直线AC的斜率为k₁=

3

3

，
∴线段AC的中垂线的方程为y-

3

2

=-

3

（x+

1

2

），
线段AB的中垂线方程为x=0，
∴△ABC的外接圆圆心为（0，0），半径为r=2，
∴△ABC的外接圆方程为x²+y²=4．-----------------（6分）
法3：∵|OC|=

(1-0)2+( 3 -0)2

=2，而|OA|=|OB|=2，
∴△ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆，
∴△ABC的外接圆方程为x²+y²=4．-----------------（6分）
法4：直线AC的斜率为k₁=

3

3

，直线BC的斜率为k₂=-

3

，
∴k₁•k₂=-1，即AC⊥BC，
∴△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆，
∴△ABC的外接圆方程为x²+y²=4．-----------------（6分）
（2）由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x²+y²=4，设点R的坐标为（2，t），
∵A，C，R三点共线，
∴

AC

∥

AR

，----------------（8分）
而

AC

=（m+2，n），

AR

=（4，t），则4n=t（m+2），
∴t=

4n

m+2

，
∴点R的坐标为（2，

4n

m+2

），点D的坐标为（2，

2n

m+2

），-----------------（10分）
∴直线CD的斜率为k=

n- 2n m+2

m-2

=

(m+2)n-2n

m2-4

=

mn

m2-4

，
而m²+n²=4，∴m²-4=-n²，
∴k=

mn

-n2

=-

m

n

，-----------------（12分）
∴直线CD的方程为y-n=-

m

n

（x-m），化简得mx+ny-4=0，
∴圆心O到直线CD的距离d=

4

m2+n2

=

4

4

=2=r，
所以直线CD与圆O相切．-----------------（14分）

点评：本题考查圆的一般方程，考查圆的方程的确定，突出考查直线与圆的位置关系，考查圆心到直线的距离，考查推理分析与运算能力，属于难题．