Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-a|+|x-4|．
（ I）当a=1时，求f（x）的最小值；
（ II）如果a=2解不等式：f（x）≥4．

Answer 1

分析：（ I）当a=1时，根据题意将绝对值符号去掉得分段函数，画出图象，结合图象求得函数f（x）的最小值．
（ II）分x≥4、2＜x＜4、x≤2三种情况分别求出原不等式的解集，再取并集即得所求．

解答：解：（ I）当a=1时，根据题意将绝对值符号去掉得分段函数：
f(x)=

5-2x  ， (x≤1) 3  ，  (1＜x＜4) 2x-5  ， (x≥4)

，…（3分）
作出函数的图象如图，由图象可知，函数f（x）的最小值为3． …..（5分）
（ II）当x≥4，2x-6≥4，x≥5． …6
当2＜x＜4，2≥4，不可能．…7
当 x≤2，有6-2x≥4，解得 x≤1．…8
原不等式的解集为：{x|x≥5，或x≤1}．…10

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数最值及其几何意义，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．