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函数f(x)是由向量集
A
A
的映射f确定,且f(x)=x-2(x•
a
a
,若存在非零常向量
a
使f[f(x)]=f(x)恒成立.
(1)求|
a
|;
(2)设
AB
=
a
A
(1,-2),若点P分
AB
的比为-
1
3
,求点P所在曲线的方程.
(1)f[f (x)]=f (x)-2[f (x)•
a
]•
a
x
为向量)
=x-2(x•
a
)•
a
-2{[x-2(x•
a
)•
a
]•
a
}•
a

=x-2(x•
a
a
-2[x•
a
-2(x•
a
a
2
]
a
=x-2(x•
a
a

∴[x•
a
-2(x•
a
a
2
]
a
=0,∵
a
0

∴x•
a
-2(x•
a
a
2
=0,∴x•
a
(1-2
a
2
)=0恒成立
∴1-2
a
2
=0,∴
a
2
=
1
2
,∴|
a
|=
2
2

(2)设B(x′,y′),∴
AB
=(x′-1,y′+2),
∴(x′-1)2+(y′+2)2=
1
2

设P(x,y) 由
AP
=-
1
3
PB
,∴(x-1,y+2)=-
1
3
(x′-x,y′-y)
x-1=-
1
3
(x-x)
y+2=-
1
3
(y-y)
,解得
x=-2x+3
y=-2y-6

∴(-2x+3-1)2+(-2y-6+2)2=
1
2

∴(x-1)2+(y+2)2=
1
8
,即为P点所在曲线的方程.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,同时将纵坐标缩小到原来的
1
2
倍,得到函数y=cos(x-
π
6
)的图象,另一方面函数f(x)的图象也可以由函数y=2cos2x+1的图象按向量
c
平移得到,则
c
可以是(  )
A、(
π
6
,-1)
B、(
π
12
,1)
C、(
π
12
,-1)
D、(
π
6
,1)

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科目:高中数学 来源: 题型:

函数f(x)是由向量集
A
A
的映射f确定,且f(x)=x-2(x•
a
a
,若存在非零常向量
a
使f[f(x)]=f(x)恒成立.
(1)求|
a
|;
(2)设
AB
=
a
A
(1,-2),若点P分
AB
的比为-
1
3
,求点P所在曲线的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•合肥模拟)已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(cosx,
3
cosx)
f(x)=
a
b
-
3
2
,下面关于函数f(x)的导函数f'(x)说法中错误的是(  )

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖北省武汉二中高一(下)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

函数f(x)是由向量集的映射f确定,且f(x)=x-2,若存在非零常向量使f[f(x)]=f(x)恒成立.
(1)求||;
(2)设=(1,-2),若点P分的比为-,求点P所在曲线的方程.

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