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18.如图,等腰Rt△AOB,OA=OB=2,点C是OB的中点,△AOB绕BO所在的边逆时针旋转一周.
(1)求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S;
(2)设OA逆时针旋转至OD,旋转角为θ,且满足AC⊥BD,求θ.

分析 (1)利用体积、表面积公式,即可求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S;
(2)如图建立空间直角坐标系,利用AC⊥BD,$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=-4cosθ-2=0$,即可求θ.

解答 解:(1)$V=\frac{1}{3}×π×{2^2}({2-1})=\frac{4}{3}π$;(3分)
S=$\frac{1}{2}×2π×2(2\sqrt{2}+\sqrt{5})$=2π(2$\sqrt{2}+\sqrt{5}$)(3分)
(2)如图建立空间直角坐标系,得A(2,0,0),C(0,0,1),B(0,0,2)
由三角比定义,得D(2cosθ,2sinθ,0),(1分)
则,$\overrightarrow{AC}=({-2,0,1})$,$\overrightarrow{BD}=({2cosθ,2sinθ,-2})$,(2分)
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=-4cosθ-2=0$,得$cosθ=-\frac{1}{2}$,θ∈[0,2π),(2分)
所以,$θ=\frac{2π}{3}或\frac{4π}{3}$.﹒﹒(1分)

点评 本题考查旋转体的体积V和表面积S,考查向量方法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

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