Question

10．在平面直角坐标系xoy中，己知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=25和圆C₂：（x-4）²+（y-2）²=4．
（1）判断两圆的位置关系：
（2）求过两圆的圆心的直线的方程：
（3）若直线m过圆C₁的圆心，且被圆C₂截得的弦长为2$\sqrt{3}$，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）利用圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系：
（2）利用点斜式，求过两圆的圆心的直线的方程：
（3）根据直线和圆相交的弦长公式设出直线斜率，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，解方程求出k值，代入即得直线m的方程．

解答 解：（1）圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=25的圆心为（-3，1），半径为5，圆C₂：（x-4）²+（y-2）²=4的圆心为（4，2），半径为2，圆心距为$\sqrt{（4+3）^{2}+（2-1）^{2}}$=5$\sqrt{2}$
∵5-2$＜5\sqrt{2}＜$5+2，
∴两圆相交；
（2）过两圆的圆心的直线的方程y-1=$\frac{2-1}{4+3}$（x+3），即x-7y+10=0；
（3）直线m过（-3，1），当m斜率不存在时，不满足条件，
设m的斜率为k，则m的方程为：y=k（x+3）+1，
∵m被圆C₂截得的弦长为2$\sqrt{3}$，得到m到圆C₂的圆心（4，2）的距离为：d=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1；
即d=$\frac{|7k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即k（24k-7）=0，
∴k=0或k=$\frac{7}{24}$，
∴直线m的方程为：y=1或7x-24y+45=0．

点评 本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式求出直线斜率是解决本题的关键．