Question

16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知b=6，且（2c-a）cosB=bcosA，若△ABC的两条中线AE、CF相交于点D，则四边形BEDF的面积的最大值为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知条件，根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，由sinC不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数，由余弦定理及基本不等式可求S_△ABC的最大值，求出EF=$\frac{1}{2}$AC，EF∥AC，证相似求出△BEF的面积，求出△ACE的面积，求出△ADC的面积，根据相似求出△DEF的面积，相加即可得出答案．

解答 解：由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC
故sinC（2cosB-1）=0，
由B，C∈（0，π），则2cosB-1=0，
所以B=60°；
所以由余弦定理可得：36=AB²+BC²-AB•BC≥2AB•BC-AB•BC=AB•BC，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sin60°≤9$\sqrt{3}$，
连接FE，
∵△ABC的中线为AE，CF，
∴FE=$\frac{1}{2}$AC，FE∥AC，
∴△BEF∽△CBA，
∵△ABC的面积的最大值为9$\sqrt{3}$，
∴$\frac{9\sqrt{3}}{{S}_{△BEF}}$=4，
∴S_△BEF的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∵△DEF∽△ADC，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{DE}{AD}=\frac{FD}{DC}=\frac{1}{2}$，
∵△ABC的面积最大值为9$\sqrt{3}$，AE为△ABC的中线，
∴△ACE的面积为$\frac{1}{2}$×9$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴△ADC的面积为：$\frac{2}{3}×$$\frac{9\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∵△DEF∽△ADC，
∴△DEF的面积S=$\frac{1}{4}$×3$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴四边形DCEF的面积是$\frac{9\sqrt{3}}{4}$+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，考查三角形的中位线定理，三角形的面积，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出各个三角形的面积，属于中档题．