Question

（2012•德阳二模）已知

a

=（cos

x

2

，

3

sin

x

2

），

b

=（sin

x

2

，-sin

x

2

），f（x）=

a

•

b

+

3

2

．
（1）求f（x）的递增区间；
（2）在△ABC中，f（A）=1，AB=2，BC=3．求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的增区间；
（2）由f（A）=1及第一问确定的f（x）解析式，A为三角形的内角，得到A的度数，再由AB，BC及cosA的值，利用余弦定理求出AC的长，再由AC，AB及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵

a

=（cos

x

2

，

3

sin

x

2

），

b

=（sin

x

2

，-sin

x

2

），
∴f（x）=

a

•

b

+

3

2

=cos

x

2

sin

x

2

-

3

sin²

x

2

+

3

2

=

1

2

sinx-

3

2

（1-cosx）+

3

2

=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin（x+

π

3

），
令2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈Z，
则f（x）的增区间为[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）由f（A）=sin（A+

π

3

）=1，且A为三角形的内角，得到A=

π

6

，
∵AB=2，BC=3，cosA=

3

2

，
∴由余弦定理BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cosA得：9=AC²+4-2

3

AC，
整理得：AC²-2

3

AC-5=0，
解得：AC=

3

+2

2

或AC=

3

-2

2

（舍去），
则S_△ABC=

1

2

AC•AB•sinA=

1

2

×（

3

+2

2

）×2×

1

2

=

3

2

+

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．