(13分)已知
，
，数列
满足
，
， 
．
（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；
（Ⅱ）当n取何值时，
取最大值，并求出最大值；
（III）若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
解析：（I）∵
，
，
，
∴
．
即
．
又
，可知对任何
，
，
所以
．……………………………2分
∵
，
∴
是以
为首项，公比为
的等比数列．………4分
（II）由（I）可知
=
（
）．
∴
．
．……………………………5分
当n=7时，
，
；
当n<7时，
，
；
当n>7时，
，
．
∴当n=7或n=8时，
取最大值，最大值为
．……8分
（III）由
，得
（*）
依题意（*）式对任意
恒成立，
①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．…………9分
②当t<0时，由
，可知
（）．
而当m是偶数时
，因此t<0不合题意．…………10分
③当t>0时，由（）,
∴
∴
． （）……11分
设
（）
∵
=
,
∴
．
∴
的最大值为
．
的取值范围是
．…………………………………13分 
科目：高中数学 来源： 题型：
（本小题满分13分）已知函数f (x)=2n
在［0,+
上最小值是a
（n∈N*）.
(1)求数列{a}的通项公式；(2)已知数列{b}中，对任意n∈N*都有ba
=1成立，设S为数列{b}的前n项和，证明：2S<1;(3)在点列A(2n,a)中是否存在两点A
,A
(i,j∈N*)，使直线AA的斜率为1？若存在，求出所有的数对（i,j）；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
（本小题满分13分）
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线
，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。
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科目：高中数学 来源：2011届福建省厦门外国语学校高三上学期11月月考理科数学卷 题型：解答题
（本小题满分13分）已知数列
，定义其倒均数是
。
（1）求数列{
}的倒均数是
，求数列{}的通项公式；
（2）设等比数列
的首项为－1，公比为
，其倒数均为
，若存在正整数k，使
恒成立，试求k的最小值。
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科目：高中数学 来源：2014届湖北武汉部分重点中学高二上学期期末考试文科数学卷（解析版） 题型：解答题
（本小题13分）已知关于x的一元二次函数
，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数列
。
（1）若
，
，列举出所有的数对，并求函数
有零点的概率；
（2）若
，
，求函数在区间
上是增函数的概率。
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年北京市西城区高三上学期期末考试文科数学试卷 题型：解答题
（本小题满分13分）已知数列
.如果数列
满足
，
，其中
，则称
为
的“衍生数列”.
（Ⅰ）写出数列
的“衍生数列”
；
（Ⅱ）若
为偶数，且的“衍生数列”是，证明：
；
（Ⅲ）若
为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是
，….依次将数
列，，，…的首项取出，构成数列
.证明：
是等差数列.
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