Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数 的单调区间；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（Ⅲ）求证： （， 是自然对数的底数）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为;（Ⅱ）; （Ⅲ）见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，分别解不等式、，可求得的增区间和减区间.

（Ⅱ）构建新函数， 不等式在上恒成立等价于在恒成立，而，分三种情形讨论可得实数的取值范围为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得不等式， ，故有，利用累加及其裂项相消法可以得到： ，化简后可得到要证明的不等式.

详解：（Ⅰ）当时， ，

.

由解得，由解得，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）因当时，不等式恒成立，即恒成立.

设，只需即可.

由,

（ⅰ）当时， ，

当时， ，函数在上单调递减，

故成立；

（ⅱ）当时，由，因，所以，

①若，即时，在区间上， ，则函数在上单调递增， 在上无最大值；

②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件；

（ⅲ）当时，由，∵，∴，

∴，故函数在上单调递减，故成立.

综上所述，实数的取值范围是.

（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时， 在上恒成立，又，

∵

，

∴.