Question

已知集合A={a₁，a₂…a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j与a_j-a_i至少一个属于A．
（1）分别判断集合M={0，2，4}与N=（1，2，3）是否具有性质P，并说明理由；
（2）①求证：0∈A；②求证：a₁+a₂+a3+…+a_n=；
（3）研究当n=3，4和5时，集合A中的数列{a_n}是否一定成等差数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用新定义，可以判断集合M={0，2，4}具有性质P，N={1，2，3}不具有性质P；
（2）①若数列A具有性质P，则a_n+a_n=2a_n与a_n-a_n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，从而可得0∈A；
②令j=n，i＞1，可得a_n-a_i属于A，证明a_n=a_i+a_n+1-i，倒序相加即可得到结论；
（3）确定a₁=0，再利用新定义，即可判断具有性质P的集合A中的数列{a_n}是否一定成等差数列．
解答：（1）解：集合M={0，2，4}具有性质P，N={1，2，3}不具有性质P．
∵集合M={0，2，4}中，a_j+a_i与a_j-a_i（1≤i≤j≤2）两数中都是该数列中的项，4-2是该数列中的项，
∴集合M={0，2，4}具有性质P；
N={1，2，3}中，3在此集合中，则由题意得3+3和3-3至少一个一定在，而3+3=6不在，所以3-3=0一定是这个集合的元素，而此集合没有0，故不具有性质P；
（2）证明：①若数列A具有性质P，则a_n+a_n=2a_n与a_n-a_n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3，而2a_n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴0∈A；
②令j=n，i＞1，则∵“a_i+a_j与a_j-a_i两数中至少有一个属于A”，
∴a_i+a_j不属于A，∴a_n-a_i属于A
令i=n-1，那么a_n-a_n-1是集合A中某项，a₁不行，是0，a₂可以．
如果是a₃或者a₄，那么可知a_n-a₃=a_n-1，那么a_n-a₂＞a_n-a₃=a_n-1，只能是等于a_n了，矛盾．
所以令i=n-1可以得到a_n=a₂+a_n-1，
同理，令i=n-2、n-3，…，2，可以得到a_n=a_i+a_n+1-i，
∴倒序相加即可得到；
（3）解：n=3时，∵数列a₁，a₂，a₃具有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃
∴a₂+a₃与a₃-a₂至少有一个是该数列中的一项，
∵a₁=0，a₂+a₃不是该数列的项，∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂，数列{a_n}一定成等差数列；
n=4时，∵数列a₁，a₂，a₃，a₄具有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄，
∴a₃+a₄与a₄-a₃至少有一个是该数列中的一项，
∵a₃+a₄不是该数列的项，∴a₄-a₃=a₂，或a₄-a₃=a₃，
若a₄-a₃=a₂，则数列{a_n}一定成等差数列；若a₄-a₃=a₃，则数列{a_n}不一定成等差数列；
n=5时，∵数列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
∴a₄+a₅与a₅-a₄至少有一个是该数列中的一项，
∵a₄+a₅不是该数列的项，∴a₅-a₄=a₂，或a₅-a₄=a₃，或a₅-a₄=a₄，
若a₅-a₄=a₄，a₄-a₃=a₂，则数列{a_n}一定成等差数列；若a₅-a₄=a₂，或a₅-a₄=a₃，则数列{a_n}不一定成等差数列．
点评：本题考查数列的综合应用，考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，属于难题．