Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直．
（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．

解答：解：（I）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3
∴AB²=AC²+BC²
∴BC⊥AC
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE
（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，
令FM=λ(0≤λ≤

3

)，则C(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B（0，1，0），M（λ，0，1）
∴

AB

=(-

3

，1，0)，

BM

=(λ，-1，1)
设

n1

=(x，y，z)为平面MAB的一个法向量，
由

n1 • AB =0 n1 • BM =0

得

- 3 x+y=0 λx-y+z=0

取x=1，则

n1

=(1，

3

，

3

-λ)，
∵

n2

=(1，0，0)是平面FCB的一个法向量
∴cosθ=

| n1 • n2 |

| n1| •| n2 |

=

1

1+3+( 3 -λ)2 ×1

=

1

(λ- 3 )2+4

∵0≤λ≤

3

∴当λ=0时，cosθ有最小值

7

7

，
当λ=

3

时，cosθ有最大值

1

2

．
∴cosθ∈[

7

7

，

1

2

]．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于找到线面之间的平行、垂直关系，并且对建立坐标系也有一定的帮助，利用向量法解决空间角空间距离是最好的方法．