Question

有四个关于三角函数的命题：
P₁：?x∈R，sinx+cosx=2；                        P₂：?x∈R，sin2x=sinx；
P3：?x∈[-

π

2

，

π

2

]，

1+cos2x 2

=cosx；    P₄：?x∈（0，π）sinx＞cosx．
其中真命题是（　　）

A．P₁，P₄

B．P₂，P₃

C．P₃，P₄

D．P₂，P₄

Answer 1

分析：根据三角函数的值域，可得命题P₁是假命题；根据特殊角的三角函数值，可得命题P₂是真命题而命题P₄是假命题；根据二倍角的余弦公式化简，并结合余弦的符号，得到命题P₃是真命题．由此得到本题的答案．

解答：解：因为sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），所以sinx+cosx的最大值为

2

，
可得不存在x∈R，使sinx+cosx=2成立，得命题P₁是假命题；
因为存在x=kπ（k∈Z），使sin2x=sinx成立，故命题P₂是真命题；
因为

1+cos2x

2

=cos²x，所以

1+cos2x 2

=|cosx|，结合x∈[-

π

2

，

π

2

]得cosx≥0
由此可得

1+cos2x 2

=cosx，得命题P₃是真命题；
因为当x=

π

4

时，sinx=cosx=

2

2

，不满足sinx＞cosx，
所以存在x∈（0，π），使sinx＞cosx不成立，故命题P₄是假命题．
故选：B

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的化简与求值、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．