Question

（Ⅰ）解关于x的不等式：x²-2x+1-a²≥0；
（Ⅱ）已知集合A是函数y=lg（20+8x-x²）的定义域，p：x∈A，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），若¬p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）x²-2x+1-a²≥0?（x-1-a）（x-1+a）≥0，且方程x²-2x+1-a²=0有两个根 1+a和1-a，通过对两根大小的讨论分情况求出解集．
（Ⅱ）先解出集合A={x|-2＜x＜10}，再求出满足¬p，q 的x的取值范围，根据¬p是q的充分不必要条件，转化为相应集合的关系，求出a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）x²-2x+1-a²≥0?（x-1-a）（x-1+a）≥0
相应的方程x²-2x+1-a²=0的两个根 1+a和1-a
当a＞0时，1+a＞1-a，不等式的解为{x|x≥1+a或x≤1-a}
当a=0时，1+a=1-a，不等式的解为R
当a＜0时，1+a＜1-a，不等式的解为{x|x≥1-a或x≤1+a}    …（6分）
（Ⅱ）若p成立，20+8x-x²＞0?x²-8x-20＜0?-2＜x＜10
∴A={x|-2＜x＜10}…（8分）
当a＞0时，不等式x²-2x+1-a²≥0的解为{x|x≥1+a或x≤1-a}
则若q成立，则x∈{x|x≥1+a或x≤1-a} 记为集合B
∵非p是q的充分不必要条件，则而C_RA?B，…（10分）C_RA={x|x≤-2或x≥10}
即，∴0＜a≤3．                         …（14分）
点评：本题考查了一元二次不等式的解，充要条件，集合间的关系，考查分类讨论、转化、计算能力．