Question

设a+b+c=1，a，b，c∈R⁺证明：
（1）ab+bc+ca≤

1

3

；  
（2）

b2

a

+

c2

b

+

a2

c

≥1．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式，即可证明．

解答： 证明：（1）∵（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，
∴2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
∴（a+b+c）²≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤

1

3

；
（2）

b2

a

+a≥2b，

c2

b

+b≥2c，

a2

c

+c≥2a，三式相加(

b2

a

+a)+(

c2

b

+b)+(

a2

c

+c)≥2(b+c+a)，
∴

b2

a

+

c2

b

+

a2

c

≥a+b+c=1．

点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．