Question

17．已知斜四棱柱平面ABCD-A₁B₁C₁D₁的各棱长均为2，∠A₁AD=60°，∠BAD=90°，平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，
（1）求直线BD₁与平面ABCD所成的角的正弦值；
（2）若E为CC₁中点，在线段AD上是否存在一点M，使得MB₁⊥平面BED₁，若存在求出AM长度，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长AD，过D₁作D₁H⊥AD于H，连结BH，可得∠D₁BH为直线BD₁与平面ABCD所成的角，
（2）取AD中点O，即AO⊥面ABCD．故如图建立空间直角坐标系O=xyz．要使得MB₁⊥平面BED₁，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{M{B}_{1}}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{M{B}_{1}}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{3x-1+3=0}\\{\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}=0}\end{array}\right.$，方程组无解．
即在线段AD上不存在一点M，使得MB₁⊥平面BED₁

解答 解：（1）：延长AD，过D₁作D₁H⊥AD于H，连结BH，
因为平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，平面A₁ADD₁∩平面ABCD=AD，
所以D₁H⊥平面ABCD，即BH为BD₁在平面ABCD内的射影，
所以∠D₁BH为直线BD₁与平面ABCD所成的角，
因为D₁H=2sin60°=$\sqrt{3}$．
BH=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}=\sqrt{13}$，D₁B=4
所以，sin∠D₁BH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴直线BD₁与平面ABCD所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（2）取AD中点O，
∵四棱柱平面ABCD-A₁B₁C₁D₁的各棱长均为2，
∠A₁AD=60°，∴AO⊥AD．
又∵平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，∴AO⊥面ABCD．
故如图建立空间直角坐标系O=xyz．
则O（0，0，0），A（1，0，0），D₁（-2，O，$\sqrt{3}$），
C（-1，1，0），C₁（-2，1，$\sqrt{3}$）B₁（0，1，$\sqrt{3}$）
设M（x，0，0）．则$\overrightarrow{M{B}_{1}}=（-x，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{B{D}_{1}}=（-3，-1，\sqrt{3}），\overrightarrow{BE}=（-\frac{5}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
要使得MB₁⊥平面BED₁，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{M{B}_{1}}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{M{B}_{1}}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{3x-1+3=0}\\{\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}=0}\end{array}\right.$，方程组无解．
∴在线段AD上不存在一点M，使得MB₁⊥平面BED₁

点评 本题考查了空间线面角的求解，动点存在性问题，属于中档题．