Question

（2007•金山区一模）设函数f（x）=

1+ 2 cos(2x- π 4 )

sin(x+ π 2 )

．
（1）化简f（x）的表达式，求f（x）的定义域，并求出f（x）的最大值和最小值；
（2）若锐角α满足cosα=

4

5

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式的分子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，分母利用诱导公式化简，约分化简后得到最简的表达式，根据原解析式的分母不为0，得到cosx不为0，根据余弦函数的图象与性质得到x的范围，即为函数的定义域，同时把化简后的解析式提取2

2

后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可求出函数的最大值和最小值；
（2）由α为锐角，根据cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，将sinα和cosα的值代入化简后的解析式中即可求出f（α）的值．

解答：解：（1）函数f（x）=

1+cos2x+sin2x

cosx

=

2cos2x+2sinxcosx

cosx

=2sinx+2cosx …（5分）
f（x）的定义域为{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}，…（6分）
又f（x）=2

2

sin（x+

π

4

），…（7分）
f（x）_max=2

2

，f（x）_min=-2

2

；…（9分）
（2）若锐角α满足cosα=

4

5

，则sinα=

3

5

，…（10分）
则f（α）=2sinα+2cosα=

14

5

．…（12分）

点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，以及正弦、余弦函数的定义域及值域，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．