Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量

m

=(a， b)， 

n

=(cosA， cosB)，

p

=(2

2

sin

B+C

2

， 2sinA)，若

m

∥

n

， |

p

| =3．
（1）求角A、B、C的值；
（2）若x∈[0， 

π

2

]，求函数f（x）=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）由

m

∥

n

的条件得acosB=bcosA，由正弦定理把边化为角，再用两角差的正正弦公式得sin（A-B）=0，在三角形内角的范围内得A=B，由向量模的值为3，得其平方为9，用坐标来表示，得关于cosA的方程，求得cosA的值，A是三角形内角，可得一个确定的角A，从而求出其它两角．
（2）用两角和的正弦公式把f（x）化为f（x）=sin（x+

π

6

）的形式，由

解答：解：（1）∵

m

∥

n

， ∴ acosB=bcosA，
由正弦定理，得sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A-B）=0，
又-π＜A-B＜π，∴A=B
而

p

2=|

p

|2=8sin2

B+C

2

+4sin2A=9，
∴8cos2

A

2

+4sin²A=9，∴4（1+cosA）+4（1-cos²A）=9，
∴4cos²A-4cosA+1=0，∴（2cosA-1）²=0
∴cosA=

1

2

，又0＜A＜π，∴A=

π

3

，
∴A=B=C=

π

3

．
（2）f(x)=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

=sin(x+

π

6

)，
∵x∈[0， 

π

2

]， ∴x+

π

6

∈[

π

6

， 

2π

3

]
∴x=0时，f(x)min=f(0)=

1

2

，
x=

π

3

时，f(x)max=f(

π

3

)=1．

点评：此题是解三角形与三角函数的综合运用，在求角时，得到一个关于三角函数的等式，把这个式子要么全化成角，要么全化成边；求三角函数最值时，一般要把式子化为
y=Asin（ωx+φ）形式．