Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，M是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDM；
（2）若PA=AD=2，求三棱锥M-BDC与多面体PDABM的体积之比．

Answer 1

分析 （1）连结AC，交BD于点O，由已知得MO∥PA，由此能证明PA∥面MBD．
（2）利用锥体的体积公式，即可得出结论．

解答 （1）证明：连结AC，交BD于点O，
∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，
∴O是AC中点，
在△PAC中，点M的是PC的中点，
MO是中位线，∴MO∥PA，
又MO?面MBD，PA?面MBD，∴PA∥面MBD．
（2）解：由题意，V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×2×2×2$=$\frac{8}{3}$，
V_M-BDC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$，
∴多面体PDABM的体积V=2，
∴三棱锥M-BDC与多面体PDABM的体积之比为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．