Question

【题目】已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；
（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1 ， x2（x1≠x2），证明：2g（ ）＜g（x1）+g（x2）．

Answer 1

【答案】
（1）解：易知f（x）定义域为（0，+∞），

当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx， ，

令f′（x）=0，得x=1．

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．

f（x）max=f（1）=﹣1．

∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1

（2）解：∵ ．

①若 ，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，

∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，

②若 ，则由 ，即

由 ，即 ，

从而f（x）在（0，﹣ ）上增函数，在（﹣ ，e]为减函数

∴

令 ，则 ，

∴a=﹣e2

（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0

∴ ，

∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1

令 ，

∴ ，

∵ ，

∴

而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0

故h（x2）＞0，

即

【解析】（1）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．（2）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．（3）先求导，再求导，得到g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1 ， 构造函数 ，利用导数即可证明