【答案】
分析:先根据条件得到BC⊥平面ACC
1A
1.建立空间直角坐标系,求出各对应点的坐标,
(Ⅰ)求出向量A
1D,B
1C
1,AB
1的坐标,只要证得其数量积为0即可得到结论.
(Ⅱ)先求出两个平面的法向量,再代入夹角计算公式即可求出结论.
解答:解:∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1为直三棱柱,∴BC⊥CC
1.
∵AC∩CC
1=C,∴BC⊥平面ACC
1A
1. …(2分)
以C为坐标原点,CB、CC
1、CA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,0,0),B(1,0,0),
,
,
,
,
. …(4分)
(Ⅰ)
,
,
,
∵
=0,
=0,
∴
,
,即A
1D⊥B
1C
1,A
1D⊥AB
1.
∵B
1C
1∩AB
1=B
1,∴A
1D⊥平面AB
1C
1. …(7分)
(Ⅱ)设n=(x,y,z)是平面ABB
1的法向量,由
得
取z=1,则
是平面ABB
1的一个法向量. …(10分)
又
是平面AB
1C
1的一个法向量,…(12分)
且
与二面角B-AB
1-C
1的大小相等.
由cos<
,
>=
=-
.
故二面角B-AB
1-C
1的余弦值为
. …(14分)
点评:本小题主要考查空间中线面关系,二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识,考查数形结合的数学思想和方法,以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力.