Question

15．已知函数y=log₂（4^x+1）-kx是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若f（x）＞log₂5-1，求x的取值范围；
（3）设函数g（x）=log₂（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），其中a＞0，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据函数的奇偶性列式求出k的值；
（2）根据对数函数的单调性解不等式；
（3）运用函数与方程思想解题，问题转化为关于t的方程$（a-1）{t^2}-\frac{4}{3}at-1=0$在$（\frac{4}{3}，+∞）$上只有一解．

解答 解：（1）∵$f（x）={log_2}（{4^x}+1）-kx\;\;（k∈R）$是偶函数，
∴$f（-x）={log_2}（{4^{-x}}+1）+kx=f（x）$对任意x∈R恒成立，
${log_2}（{4^x}+1）-2x+kx={log_2}（{4^x}+1）-kx$恒成立，
则2（k-1）x=0恒成立，因此，k=1；
$\begin{array}{l}（2）若{log_2}（{4^x}+1）-x＞{log_2}5-1则{log_2}\frac{{（{4^x}+1）}}{5}＞x-1\\ 所以\frac{{（{4^x}+1）}}{5}＞{2^{x-1}}，所以{4^x}-5×{2^{x-1}}+1＞0\\ 令t={2^x}则有{t^2}-\frac{5}{2}t+1＞0即2{t^2}-5t+2＞0…（4分）\\ 解得t＜\frac{1}{2}或t＞2…（5分）\\ 所以{2^x}＜\frac{1}{2}或{2^x}＞2\\ 所以x＜-1或x＞1…（6分）\end{array}$
（3）由于a＞0，所以$g（x）={log_2}（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）$定义域为$（{log_2}\frac{4}{3}，+∞）$，也就是满足${2^x}＞\frac{4}{3}$，
∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，
∴方程${log_2}（{4^x}+1）-x={log_2}（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）$在$（{log_2}\frac{4}{3}，+∞）$上只有一解
即：方程$\frac{{{4^x}+1}}{2^x}=a•{2^x}-\frac{4}{3}a$在$（{log_2}\frac{4}{3}，+∞）$上只有一解，令2^x=t，则$t＞\frac{4}{3}$，
因而问题等价为：关于t的方程$（a-1）{t^2}-\frac{4}{3}at-1=0$（*）在$（\frac{4}{3}，+∞）$上只有一解，
①当a=1时，解得$t=-\frac{3}{4}∉（\frac{4}{3}，+∞）$，不合题意；
②当0＜a＜1时，记$h（t）=（a-1）{t^2}-\frac{4}{3}at-1$，其图象的对称轴$t=\frac{2a}{3（a-1）}＜0$，
∴函数f（2m-mcosθ）+f（-1-sin²θ）＜f（0）在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1，
∴方程（*）在$（\frac{4}{3}，+∞）$无解；
③当a＞1时，记$h（t）=（a-1）{t^2}-\frac{4}{3}at-1$，其图象的对称轴$t=\frac{2a}{3（a-1）}＞0$，h（0）=-1，
 所以，只需$h（\frac{4}{3}）＜0$，即$\frac{16}{9}（a-1）-\frac{16}{9}a-1＜0$，此恒成立∴此时a的范围为a＞1，
综上所述，所求a的取值范围为a＞1．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的应用，运用对数函数的单调性解不等式，以及函数图象交点的确定，属于中档题．