Question

10．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
给出下列五个命题：
①EF∥平面ABCD    
②AC⊥BE
③点A₁到平面B₁BDD₁的距离为$\sqrt{2}$
④三棱锥A-BEF的体积为定值，⑤异面直线AE，BF所成的角为定值
其中真命题的序号是①，②，④．

Answer 1

分析 此题考察空间几何体的线面问题，体积问题，和线线问题．需要学生的耐心分析，灵活转换，取特例等思想．

解答 解：①由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，真命题；
②由题意及图形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，真命题；
③A₁到平面B₁BDD₁的距离为A₁到B₁D₁的距离即$\frac{\sqrt{2}}{2}$．假命题；
④由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD₁B₁B距离等于点A₁到平面B₁BDD₁的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，真命题；
⑤取特例：由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A₁AO，当E与D₁重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC₁，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．假命题．
故答案为①，②，④

点评 次题考察知识点比较多，对图形的考察比较抽象，学生应结合图形，根据概念耐心分析．