Question

2．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+2kx+1}$（k＞0）．
（1）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若对任意的a，b，c∈R⁺，均存在以$\frac{1}{f（a）}$，$\frac{1}{f（b）}$，$\frac{1}{f（c）}$为三边边长的三角形，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x²+2kx+1≤2x²+2，即为2k≤x+$\frac{1}{x}$对x＞0恒成立，运用基本不等式求得不等式右边的最小值，即可得到所求范围；
（2）求得$\frac{1}{f（x）}$的范围，由题意可得$\frac{1}{f（a）}$+$\frac{1}{f（b）}$＞$\frac{1}{f（c）}$恒成立，即有2≥k+1，即可得到所求k的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+2kx+1}$（k＞0），
对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$恒成立，
即有x²+2kx+1≤2x²+2，
即为2k≤x+$\frac{1}{x}$对x＞0恒成立，
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，（x=1取得等号），
则0＜2k≤2，即0＜k≤1．
则实数k的取值范围为（0，1]；　　　　
（2）$\frac{1}{f（x）}$=$\frac{{x}^{2}+2kx+1}{{x}^{2}+1}$
=1+$\frac{2kx}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2k}{x+\frac{1}{x}}$，
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，（x=1取得等号），
可得$\frac{1}{f（x）}$∈（1，1+k]．
对任意的a，b，c∈R⁺，均存在以$\frac{1}{f（a）}$，$\frac{1}{f（b）}$，$\frac{1}{f（c）}$为三边边长的三角形，
即有$\frac{1}{f（a）}$+$\frac{1}{f（b）}$＞$\frac{1}{f（c）}$恒成立，
即有2＜$\frac{1}{f（a）}$+$\frac{1}{f（b）}$≤2k+2，1＜$\frac{1}{f（c）}$≤k+1，
所以2≥k+1，即k≤1，
则0＜k≤1．
则实数k的取值范围为（0，1]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查三角形存在的条件，以及推理和运算能力，属于中档题．