Question

已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y²=8x的焦点，M的离心率e=

1

2

，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点N（t，0）是一个动点，且(

NA

+

NB

)⊥

AB

，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可求a，由e=

c

a

=

1

2

可求c，然后由b²=a²-c²可求b，进而可求椭圆方程
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l：x=my+1（m≠0），联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求y₁+y₂，由(

NA

+

NB

)⊥

AB

可得|NA|=|NB|，利用距离公式，结合方程的根与系数关系可得t=

1

3m2+4

，结合二次函数的性质可求t的范围

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线y²=8x的焦点F（2，0）
∴a=2
∵e=

c

a

=

1

2

∴c=1
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆M的标准方程：

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l：x=my+1（m∈R，m≠0）
联立方程

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

可得（3m²+4）y²+6my-9=0
由韦达定理得y1+y2=-

6m

3m2+4

①（6分）
∵(

NA

+

NB

)⊥

AB

∴|NA|=|NB|
∴(x1-t)2+y12=(x2-t)2+y22
∴(x1-x2)(x1+x2-2t)+(y12-y22)=0
将x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入上式整理得：(y1-y2)[(m2+1)(y1+y2)+m(2-2t)]=0，
由y₁≠y₂知（m²+1）（y₁+y₂）+m（2-2t）=0，将①代入得t=

1

3m2+4

（10分）
所以实数t∈(0，

1

4

)（12分）

点评：本题主要考查了椭圆的性质在椭圆的方程求解中的应用，直线与椭圆的相交关系的应用及方程的根与系数关系的应用，属于直线与曲线关系的综合应用