Question

已知数列{a_n}，且S_n=na+n（n-1），
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）求(an，

Sn

n

)所在的直线方程．

Answer 1

分析：（1）根据所给的数列的前n项和，仿写一个等式，两式相减得到数列的通项，再用判断数列是等差数列的方法，得到前一项与后一项的差是一个常数，结论得证．
（2）根据前面所得到的数列的基本量，写出数列的前n项和，整理所给的点的坐标，得到参数方程，用代入法消去参数，得到要求的直线方程．

解答：（1）证明：∵S_n=na+n（n-1），①
∴s_n-1=（n-1）a+（n-1）（n-2）②
①-②a_n=2n+a-2，
∵a_n-a_n-1=2n+a-2-（2n-2+a-2）=2，
即数列的前一项与后一项的差是一个常数，
∴{a_n}是等差数列．
（2）解：∵

sn

n

=a+n-1，
a_n=2n+a-2，
对于点(an，

Sn

n

)，设出坐标是（x，y），
则x=2n+a-2，y=n+a-1，
∴消去参数得y=

1

2

x+

1

2

a．

点评：数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分．