Question

某自来水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，t小时内向居民供水总量为120

6t

(0≤t≤24)．
（1）每天几点钟时，蓄水池中的存水量最少？
（2）如果池中存水量不多于80吨，就会出现供水紧张现象，那么一天中会有几小时出现这种现象？

Answer 1

分析：（1）根据题意先设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨．写出蓄水池中的存水量的函数表达式，再利用换元法求此函数的最小值即得；
（2）先由题意得：y≤80时，就会出现供水紧张．由此建立关于x的不等关系，最后解此不等式即得一天中会有多少小时出现这种供水紧张的现象．

解答：解：（1）设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨．
则y=400+60t-120

6t

（0≤t≤24）
设u=

t

，则u∈[0，2

6

]，y=60u²-120

6

u+400=60(u-

6

)2+40
∴当u=

6

即t=6时，y取得最小值40．
∴每天在6点钟时，蓄水池中的存水量最少．（5分）
（2）由题意得：y≤80时，就会出现供水紧张．
∴60u²-120

6

u+400≤80
解之得

2 6

3

≤u≤

4 6

3

∴

8

3

≤t≤

32

3

∴△t=

32

3

-

8

3

=8
∴一天中会有8小时出现这种供水紧张的现象．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于基础题．