【题目】已知圆O:,直线l:.
若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当时,求实数k的值;
若,P是直线上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点分别为C、D,试探究:直线CD是否过定点若存在,请求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)过定点
【解析】
⑴运用弦长公式结合计算出圆心到直线的距离,即可求出斜率
⑵解法1:设切点,,求出两条切线方程,计算出直线的方程,从而得到定点坐标;解法2:、、、四点共圆且在以为直径的圆上,求出公共弦所在直线方程,然后再求定点坐标
(1),设到的距离为,则
点到的距离.
(2)解法1:设切点,,则圆在点处的切线方程为
,所以,即.
同理,圆在点处的切线方程为,
又点是两条切线的交点,,,
所以点的坐标都适合方程,
上述方程表示一条直线,而过、两点的直线是唯一的,
所以直线的方程为.
设,则直线的方程为,
即,由得,
故直线过定点.
解法2:由题意可知:、、、四点共圆且在以为直径的圆上,
设,则此圆的方程为:.
即:
又、在圆上,
两圆方程相减得
即,由得,
故直线过定点.
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【题目】2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备,通过市场分析,全年需投入固定成本3000万元,每生产x(百辆),需另投入成本万元,且,由市场调研知,每辆车售价6万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2019年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额成本)
(2)2019年产量为多少(百辆)时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
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【题目】(1)已知函数,其中,求函数的图象恰好经过第一、二、三象限的概率;
(2)某校早上8:10开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~8:00之间到校,且每人到该时间段内到校时刻是等可能的,求两人到校时刻相差10分钟以上的概率.
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【题目】如图,已知在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点,
(1)试在棱上确定一点,使平面平面,说明理由;
(2)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
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【题目】若平面直角坐标系内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的图象上的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)看作同一个“友好点对”).已知函数,若此函数的“友好点对”有且只有一对,则实数的取值范围是_________.
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【题目】设是两个非零平面向量,则有:
①若,则
②若,则
③若,则存在实数,使得
④若存在实数,使得,则或四个命题中真命题的序号为 __________.(填写所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】逐一考查所给的结论:
①若,则,据此有:,说法①正确;
②若,取,则,
而,说法②错误;
③若,则,据此有:,
由平面向量数量积的定义有:,
则向量反向,故存在实数,使得,说法③正确;
④若存在实数,使得,则向量与向量共线,
此时,,
若题中所给的命题正确,则,
该结论明显成立.即说法④正确;
综上可得:真命题的序号为①③④.
点睛:处理两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】已知在中,,且.
(1)求角的大小;
(2)设数列满足,前项和为,若,求的值.
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