Question

某轮船在海面上匀速行驶，该轮船每小时使用燃料的费用（单位：元）和轮船速度（单位：海里/时）的平方成正比．当速度是10海里/时它的燃料费用是每小时30元，其余费用（不论速度如何）都是每小时480元，如果甲、乙两地相距100海里，
（1）求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的关系式；
（2）问船速为多少时，总费用最低？并求出最低费用是多少．

Answer 1

分析：（1）由已知中，设船速为x，我们易求出每小时使用燃料的费用（单位：元）和轮船速度（单位：海里/时）的比例系数，及航行的时间，进而得到总费用与船速的关系式；
（2）由（1）中总费用与船速的关系式，结合基本不等式，即可确定出船速为多少时，总费用最低，及最低费用的值．

解答：解：（1）由已知中轮船每小时使用燃料的费用（单位：元）和轮船速度（单位：海里/时）的平方成正比
设船速为x，燃料的费用t=Kx²，
由速度是10海里/时它的燃料费用是每小时30元
则K=0.3，即t=0.3x²，
双由航行时间为

100

x

，其余费用每小时480元，
故轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的关系式为y=

100

x

•.3x²+

48000

x

=30x+

48000

x

（2）由（1）中总费用与船速的关系式为y=30x+

48000

x

≥2

30x• 48000 x

=1200
当且仅当30x=

48000

x

，即x=40时取等
即船速为40海里/时时，总费用取最低值1200元

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，函数的最值及其求法，其中（1）的关键是由已知中确定燃料的费用（单位：元）和轮船速度（单位：海里/时）的比例系数，及航行的时间，（2）的关键是根据解析的形式，确定由基本不等式求函数的最值．