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已知一台机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.一周五天工作日里无故障可获利10万元,发生一次故障可获利5万元,发生两次故障没有利润,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.这台机器在一周内平均获利多少?
分析:先由概率公式求出一周内机器发生故障的次数ξ的概率,由题意知ξ=0,1,2,3次及以上分别对应的利润是10,5,0,-2万元,由求期望的公式求出即可
解答:解:以ξ表示一周内机器发生故障的次数,则ξ~B(5,
1
5
),
∴P(ξ=k)=C5k×0.2k×0.85-k(k=0、1、…、5),
以η表示一周内获得的利润,则η=g(ξ),
而g(0)=10,g(1)=5,g(2)=0,g(ξ≥3)=-2
∴P(η=10)=P(ξ=0)=0.85=0.32828,
P(η=5)=P(ξ=1)=0.4096,
P(η=0)=P(ξ=2)=0.2048,
P(η=-2)=P(ξ≥3)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=2)=0.05732,
∴Eη=10×0.328+5×0.410-2×0.057=5.20896万元为所求
点评:本题考查离散型随机变量的期望与方差,求解的关键是计算出每一种利润所对应的概率,熟练掌握求期望的公式也很关键.
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有甲、乙两台相同的机器,它们互相独立工作,已知这两台机器在一天内发生故障的概率都是20%,一台机器一旦故障当天就亏损5万元无任意利润;若一台机器正常工作一天则可获利润10万元,则甲、乙两台机器在一天内的利润期望为
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万元.

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