练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    9．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=a-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，直线l与曲线C交于M，N两点（点M在点N的上方）．
    （Ⅰ）若a=0，求M，N两点的极坐标；
    （Ⅱ）若P（a，0），且$|PM|+|PN|=8+2\sqrt{3}$，求a的值．

    分析 （Ⅰ）消去参数t，求得直线l的普通方程，根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程，联立方程组求出M、N的直角坐标方程，在转化为极坐标；
    （Ⅱ）设M，N对应的参数分别为t1，t2，${t_1}+{t_2}=4a+2\sqrt{3}＞0$，${t_1}{t_2}=4{a^2}＞0$即可．

    解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）消去参数t，求得直线l的普通方程$\sqrt{3}x+y=0$
    根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为x2=y，…（3分）
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=y\\ \sqrt{3}x+y=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}\\ y=3\end{array}\right.$
    ∴M，N两点的极坐标分别为$（2\sqrt{3}，\;\frac{2π}{3}）$、（0，0）…（6分）
    （Ⅱ）点P（a，0）显然在直线l上，
    把$\left\{\begin{array}{l}x=a-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（a≥0，t为参数）代入x2=y并化简，得${t^2}-（4a+2\sqrt{3}）t+4{a^2}=0$．
    设M，N对应的参数分别为t1，t2，
    ∵a＞0
    ∴${t_1}+{t_2}=4a+2\sqrt{3}＞0$，${t_1}{t_2}=4{a^2}＞0$
    ∴t1＞0，t2＞0
    ∴$|PM|+|PN|={t_1}+{t_2}=4a+2\sqrt{3}=8+2\sqrt{3}$
    ∴a=2．…（12分）

    点评 本题考查了极坐标方程、参数方程、普通方程的转化，及直线的参数方程中参数的含义，属于基础题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    19．在f1（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x四个函数中，当x1＞x2＞1时，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立的函数是f1（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    20．已知全集U={x|x是小于9的正整数}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（　　）
    A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    17．下列函数中与函数y=x0表示同一函数的是（　　）
    A．y=1B．y=$\frac{（\sqrt{x}）^{2}}{x}$C．y=$\frac{x}{x}$D．y=$\frac{|x|+1}{|x|+1}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    4．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（-3）=-26．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    14．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（0，2，0），则第五个顶点的坐标可能为（　　）
    A．（1，1，1）B．（1，1，$\sqrt{2}$）C．（1，1，$\sqrt{3}$）D．（2，2，$\sqrt{3}$）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    1．下列命题：
    ①函数$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的单调减区间为$[kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{12}]，k∈Z$；
    ②函数$y=\sqrt{3}cos2x-sin2x$图象的一个对称中心为$（\frac{π}{6}，0）$；
    ③函数y=cosx的图象可由函数$y=sin（x+\frac{π}{4}）$的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位得到；
    ④若方程$sin（2x+\frac{π}{3}）-a=0$在区间$[0，\frac{π}{2}]$上有两个不同的实数解x1，x2，则${x_1}+{x_2}=\frac{π}{6}$．
    其中正确命题的序号为①②④．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    18．已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则$\frac{{A{A_1}}}{AB}$=$\sqrt{2}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    19．已知命题p：?x∈（1，+∞），2x-1-1＞0，则下列叙述正确的是（　　）
    A．￢p为：?x∈（1，+∞），2x-1-1≤0B．￢p为：?x∈（1，+∞），2x-1-1＜0
    C．￢p为：?x∈（-∞，1]，2x-1-1＞0D．￢p是假命题

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案