Question

已知抛物线，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点。
（1）当，且直线过抛物线C的焦点时，求的值；
（2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求，之间满足的关系式，并证明直线过定点。

Answer 1

（Ⅰ）  8 （Ⅱ）  直线过定点（-4，4）

（1）抛物线的焦点为（1，0）                                               2分
由已知=，设，，
联立，消得，
所以，                                                                            4分


（2）联立，消得………………（*）（依题意≠0）
，，                                                                          8分
设直线OA， OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为，，则α+β=45°，
，                                                               9分
其中，，代入上式整理得         11分
所以，即，                                                               12分
此时，使（*）式有解的，有无数组
直线的方程为，整理得
消去，即时恒成立，
所以直线过定点（-4，4）