Question

已知函数f（x）=3ax⁴-2（3a+1）x²+4x
（ I）当a=

1

6

时，求f（x）的极值；
（ II）若f（x）在（-1，1）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=

1

6

时，对函数求导f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2），由导数确定函数的单调性，进而可求函数的极值与极值点；
（2）f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，从而3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立，可求a的取值范围．

解答：解：（I ）a=

1

6

，f（x）=

1

2

x4-3x2+4x
对函数求导可得，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2）
当x＞-2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增
x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，-2）上单调递减
x=-2是函数的极小值f（-2）=-12，没有极大值
（II）∵f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立
∴3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3ax²+3ax-1
则

a＞0 g(-1)≤0 g(1)≤0

或

a＜0 g(- 1 2 )≤0

或a=0
∴

a＞0 -1≤0 6a-1≤0

或

a＜0 - 3a 4 -1≤0

或a=0
∴-

4

3

≤a≤

1

6

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值与函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．