Question

已知命题P：实数m满足方程

x2

m-1

+

y2

2-m

=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：实数m满足m²-7am+12a²＜0（a＞0），且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析：已知命题P，根据椭圆的性质，可以求出m的范围，命题q：实数m满足m²-7am+12a²＜0（a＞0），利用因式分解法求出m的范围，再根据p是q的必要不充分条件，即q⇒p，从而求出a的取值范围；

解答：解：命题P：实数m满足方程

x2

m-1

+

y2

2-m

=1表示焦点在y轴上的椭圆，
p：

m-1＜2-m m-1＞0 2-m＞0

解得：1＜m＜

3

2

；
q：∵实数m满足m²-7am+12a²＜0（a＞0），∴（m-3a）（m-4a）＜0，
∴3a＜m＜4a（a＞0）…（4分）
依题意，p是q的必要不充分条件，有q⇒p且p≠＞q…（6分）

a＞0 3a≥1 4a≤ 3 2

解得

1

3

≤a≤

3

8

…（12分）

点评：此题主要考查充分必要条件的定义，以及椭圆的性质，利用十字相乘法求m²-7am+12a²＜0的解集，是解决此题的关键，是一道中档题；