Question

（2012•江苏二模）选做题
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，自⊙O外一点P作⊙O的切线PC和割线PBA，点C为切点，割线PBA交⊙O于A，B两点，点O在AB上．作CD⊥AB，垂足为点D．
求证：

PC

PA

=

BD

DC

．
B．选修4-2：矩阵与变换
设a，b∈R，若矩阵A=

a 0 -1 b

把直线l：y=2x-4变换为直线l′：y=x-12，求a，b的值．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
求椭圆C：

x2

16

+

y2

9

=1上的点P到直线l：3x+4y+18=0的距离的最小值．
D．选修4-5不等式选讲
已知非负实数x，y，z满足x²+y²+z²+x+2y+3z=

13

4

，求x+y+z的最大值．

Answer 1

分析：A．利用弦切角定理可以证明∠PCB=∠PAC，又∠BPC=∠CPA，从而有△PCB∽△PAC，得到比例式

PC

PA

=

BC

AC

，①又在直角三角形ABC中，有

BD

DC

=

BC

CA

，②，等量代换得

PC

PA

=

BD

DC

．
B．在直线l取两点M（2，0），N（0，-4），M，N在矩阵A对应的变换作业下分别对应于点M'，N'，分别求出点M'，N'的坐标，代入直线l′，建立方程组，解之即可．
C．先求出椭圆的参数方程点P（4cosθ，3sinθ）到直线l的距离d，再由和（差）角公式求出椭圆上的点到直线l的距离的最小值．
D．利用题中条件可化为：（x+

1

2

）²+（y+1）²+（x+

3

2

）²=

27

4

，根据柯西不等式可得到[（x+

1

2

）+（y+1）+（x+

3

2

）]²≤3[（x+

1

2

）²+（y+1）²+（x+

3

2

）]=

81

4

，从而求出x+y+z的最小值．

解答：解：A．证明：连接BC、AC，
∵PC作⊙O的切线，切点为C，
∴∠PCB=∠PAC，
又∵∠BPC=∠CPA，
∴△PCB∽△PAC；
∴

PC

PA

=

BC

AC

，①
又在直角三角形ABC中，有

BD

DC

=

BC

CA

，②
由①②得

PC

PA

=

BD

DC

．
B：在直线l取两点M（2，0），N（0，-4）
M，N在矩阵A对应的变换作业下分别对应于点M'，N'
因

a 0 -1 b

2 0

=

2a -2

，所以M'的坐标为（2a，-2）；

a 0 -1 b

0 -4

=

0 -4b

，所以N'的坐标为（0，-4b）；
由题意可知M'，N'在直线l′上，
所以

-2=2a-12 -4b=-12

解得：a=5，b=3．
C：∵设P（4cosθ，3sinθ）到直线l的距离：
d=

|12cosθ+12sinθ+18|

5

=

12 2 sin(θ+ π 4 )+18

5

≥

-12 2 +18

5

当sin（θ+

π

4

）=-1时，等号成立，
故d的最小值为

-12 2 +18

5

．
D．条件可化为：（x+

1

2

）²+（y+1）²+（z+

3

2

）²=

27

4

则：[（x+

1

2

）+（y+1）+（z+

3

2

）]²≤3[（x+

1

2

）²+（y+1）²+（z+

3

2

）²]=

81

4

得x+y+z≤

3

2

，当且仅当：x+

1

2

=y+1=z+

3

2

时取等号，
∴x+y+z的最小值为：

3

2

．

点评：A．本题考查了弦切角定理，切线的性质定理，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
B．本题主要考查了变换、矩阵的相等、几种特殊的矩阵变换，同时考查了计算能力，属于基础题．
C．本题以椭圆为载体，考查椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、和（差）角公式，综合性强，考查函数与方程思想，化归与转化思想．
D．本题考查用柯西不等式求最值，关键是利用构造利用一般形式的柯西不等式．